Народився 16 квітня 1926 року у селі Ульбарів (Нагірне) Дубнівського району Рівненської області. В 1944 році пішов на фронт.У 1950-1955 роках навчався у Львівському училищі прикладного мистецтва; у 1956-1960 роках в Ленінградському інституті живопису, скульптури і архітектури на факультеті «Історія і теорія мистецтв».
У 1960-1962 роках працював заступником директора з питань науки Музею українського мистецтва у Львові. З 1962 року – директор Львівської галереї мистецтв.
За його ініціативи у 1972-1975 роках було створено експозицію музею Олеський замок. Після реставрації замку повернуто вигляд XVII століття
Б.Г. Возницький – засновник музеїв: Олеський замок (1975), музей книги (першодрукаря І.Федорова) (1976), музей-садиба М.Шашкевича (1986), музей найстаріших пам'яток Львова (1990), музей «Русалки Дністрової» (1991), музей оборонної архітектури ХVІ століття в «П'ятничанській вежі» (1993), музей І.Г. Пінзеля (1996).
За його ініціативи стародавні замки Галичини- Олеський, Золочівський, Підгорецький та Свірзький були об'єднані у так звану «Золоту підкову».
Завдяки Б.Г. Возницькому сучасникам стало відоме ім'я українського Мікеланджело – скульптора Йоана Георга Пінзеля. Тільки з костелу Яна Непомука у м.Дубні було врятовано 60 скульптур.
Член Спілки художників України. Член Ради з питань збереження національної культурної спадщини (06.1997-01.1998). Член-кореспондент Академії мистецтв України, почесний член Академії мистецтв України; президент Українського національного комітету Міжнародної ради музеїв (JCOM) от UNESCO (з 1995); член Комітету Національних премій України імені Т.Г. Шевченка (11.2005-12.2008).
Указом Президента України Віктора Ющенко № 806/2005 від 16 травня 2005 року за визначний внесок у національне відродження України, багаторічну подвижницьку діяльність на ниві збереження та популяризації духовної спадщини українського народу, особисті заслуги у розвитку музейної справи директору Львівської галереї мистецтв Борису Григоровичу Возницькому присвоєно звання Герой України з врученням ордена Держави.
Заслужений працівник культури України (1972). Заслужений діяч польської культури (1984). Доктор «Honoris causa» Краківської вищої педагогічної школи (1998), Варшавської Академії мистецтв (2004). Лауреат Державної премії України імені Т.Г. Шевченка (1989), премії імені Я.Кохановського (1990).
Нагороджений орденом «За заслуги» ІІ ступеня (19.04.2001, за вагомі здобутки у професійній діяльності, багаторічну плідну працю), Почесною відзнакою Президента України (орден «За заслуги» ІІІ ступеня, 26.04.1996, за особисті заслуги перед українською державою в розвитку музейної справи, активну громадську діяльність), відзнакою Президента – Хрестом Івана Мазепи (23.02.2010, за вагомий особистий внесок у відродження історичної спадщини українського народу, багаторічну плідну професійну діяльність), ювілейною медаллю "20 років незалежності України" (19.08.2011, за значний особистий внесок у соціально-економічний, науково-технічний та культурно-освітній розвиток Української держави, вагомі трудові здобутки та багаторічну сумлінну працю); Золотою медаллю Академії мистецтв України (2006); орденом Командора (Польща, 2004). Почесний громадянин Львова.
Автор видань «Олеський замок» (Львів, 1978), «Каплиця Боїмів у Львові» (Львів, «Каменяр», 1979), «Микола Потоцький староста Канівський та його митці архітектор Бернард Меретин і сницар Іоан Георгій Пінзель» (Львів, «Центр Європи», 2005), «Борис Возницький. Автопортрет на тлі часу» (2006), статей з питань львівської барокової скульптури ХVІІІ століття, української ікони ХІV-ХVІІ століття, археології. Директор Львівської галереї мистецтв, Герой України
Борис Возницький - український мистецтвознавець, директор Львівської галереї мистецтв, академік Української академії мистецтв загинув у ДТП 23 травня 2012 року. Аварія сталася у селі Печенія Золочівського району, що на Львівщині.Похований на Личаківському кладовищі у Львові.